Происхождение: от китайского послелога 以来 ирай со значением «в дальнейшем», «впредь», «отныне»

…たびに

Происхождение: от существительного  度 (たび ) со значением «раз»

Присоединение: 3-я основа глагола /сущ.+-но  +たびに

Значение:  Временной союз  たびに имеет значения «каждый раз, когда..», «всегда, когда». он обозначает ,что действия в главном и придаточном предложении одновременны.

Примеры:

その歌を歌うたび、幼い日のことを思い出す。Каждый раз, когда пою эту песню, я вспоминаю детские годы.

人は新しい経験をするたびに、何かを学ぶ。 Каждый раз, когда человек пробует новое, он чему-то учится.

私は旅行のたびに、絵葉書を買います。Каждое путешествие я покупаю открытки.

その川は大雨のたびに、水があふれて被害が起きている。Эта река после каждого ливня выходит из берегов и вызывает бедствие.

…ついでに

Происхождение:  от существительного 序で цуйдэ со значениями «1) порядок 2) случай, возможность, шанс»

Присоединение: 3-я основа глагола /-та-форма глагола/сущ.(канго)+-но+…ついでに

Значение: «заодно, вслед, попутно, по дороге», «пользуясь случаем, при случае, кстати», «во время». Используется, когда хотят сказать, что одно действие  (выраженное сказуемым главного предложения) совершается попутно с другим (выраженным сказуемым придаточного) , которое используется как удобный случай  для совершения первого. Часто в первой части предложения до союзы выражено заранее запланированное действие а во второй — дополнительно незапланированное. Так как смысл этого союза сводится к использованию удобного случая, то он почти не используется для выражения  каких-либо общепринятых действий, которые должен выполнять любой человек.

Примеры:

銀行へ行くついでにこの手紙を出してくれませんか。Вы не отправите письмо по пути в банк?

デパートへ買い物に行ったついでに、着物の展示会を見て来た。Пока ходил в супермаркет за покупками, посмотрел выставку кимоно.

買い物のついでに本屋に寄った。Делая покупки, зашел в книжный магазин.

Происхождение: от наречия 途端に тотан-ни со значением » в тот самый момент»
Присоединение: простая прошедшая форма глагола. Другой вариант — そのとたんに употребляется в начале предложения и соединяет самостоятельные предложения.